Règle de Cramer - Méthode de Cramer

Formulaire de report

Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Méthode

Trouver la matrice inverse

Méthode de Cramer :
Soit \(A\) une matrice inversible (\(\iff\operatorname{det} A\neq0\)) de format \(n\times n\)
Soit \(C\) la matrice de format \(n\times n\) telle que \(C_{ij}=(-1)^{i+j}\operatorname{det}(M_{ji})\) (avec \(M_{ij}\) la matrice de taille \((n-1)\times(n-1)\) obtenue à partir de \(A\) en supprimant la \(i\)ième ligne et la \(j\)ième colonne)
Alors on a : $${{A^{-1}_{ij} }}={{\frac{C_{ij} }{\operatorname{det} A} }}$$

(Matrice inversible - Inversion de matrice, Matrice inverse, Déterminant)

Résoudre une équation avec une matrice

Méthode de Cramer :
Soit \(A\) une matrice inversible et \(b\in{\Bbb R}^n\). On cherche à résoudre l'équation \(Ax=b\), avec \(x=\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}\)
On a : $${{x_i}}={{\frac{\operatorname{det} A'_i}{\operatorname{det} A} }}$$
Avec \(A'_i\) la matrice obtenue à partir de \(A\) en remplaçant la \(i\)ième colonne par \(b\)

(Matrice inversible - Inversion de matrice, Déterminant)

Utilisation

En pratique, on utilise très peu la règle de Cramer car elle est très peu efficace, et peut parfois donner des résultats faux sur un ordinateur

Exercices

Consigne: Soit $$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&2&0\\ 1&0&3\end{pmatrix}\quad\text{ et }\quad\operatorname{det}(A)=1$$
Trouver la matrice inverse de \(A\) en utilisant la méthode de Cramer

On écrit $$\operatorname{Comat}(A)=\begin{pmatrix}\begin{vmatrix}2&0\\ 0&3\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&0\\ 1&3\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&2\\ 1&0\end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix}1&1\\ 0&3\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&1\\ 1&3\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&1\\ 1&0\end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix}1&1\\ 2&6\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&1\\ 1&0\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&1\\ 1&2\end{vmatrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&-3&-2\\ -3&2&1\\ -2&1&1\end{pmatrix}$$

On a $$A^{-1}=\frac1{\operatorname{det} A}\,^\text t\operatorname{Comat}(A)=\begin{pmatrix}6&-3&-2\\ -3&2&1\\ -2&1&1\end{pmatrix}$$